当兵政审需要盖的章包括以下几类：
派出所公章
需要加盖户籍所在地的派出所公章。具体流程是，本人携带身份证前往户籍科进行盖章，派出所会查阅有无犯罪记录，包括本人和直系亲属的记录。
学校公章
如果还在读书，需要盖学校或学院的公章。学校政务处通常保管有学校的公章，需要携带相关材料前往盖章。
社区居委会（村委会）公章
需要加盖居委会或村委会的公章，对应征公民在本辖区居住期间的现实表现情况及其家庭主要成员、主要社会关系情况进行审查鉴定。
街道办事处（乡镇政府）公章
需要加盖街道办事处或乡镇政府的公章，对应征公民的政治情况进行复审和鉴定。
兵役机关的政审专用章
需要加盖兵役机关的政审专用章，确保兵员的政治合格。
综上所述，当兵政审需要盖的章包括派出所、学校、社区居委会（村委会）、街道办事处（乡镇政府）和兵役机关的政审专用章。建议按照以下顺序进行：
1. 携带身份证前往户籍科盖章。
2. 前往学校政务处盖学校公章。
3. 前往社区居委会或村委会盖章。
4. 前往街道办事处或乡镇政府盖章。
5. 最后前往兵役机关盖政审专用章。
确保所有材料齐全并按要求盖章，以便顺利通过政审。