监守自盗的罪名主要取决于犯罪主体的身份。具体来说：
职务侵占罪
如果监守自盗者不是国家工作人员，而是公司、企业或其他单位的工作人员，那么其行为构成职务侵占罪。根据《刑法》第二百七十一条的规定，数额较大的情况下，可处三年以下有期徒刑或拘役，并处罚金；数额巨大或有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金。
贪污罪
如果监守自盗者是国家工作人员，并且其行为利用了国家工作人员的职务便利，那么其行为构成贪污罪。根据《刑法》第三百八十二条的规定，贪污数额特别巨大的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产；数额特别巨大，给国家造成重大损失的，处无期徒刑或者死刑，并处没收财产。
建议
在处理监守自盗案件时，首先要明确犯罪主体的身份，然后根据其身份和涉案金额等因素，依据相关法律规定进行定罪量刑。同时，如果犯罪主体在被发现后能够积极退赃并表现出悔罪态度，可能会从轻或减轻处罚。